TEOREMA INDEFINIBLE PARA SISTEMAS COMPLEJOS

Teorema indefinible para sistemas complejos
Aproximación desde tres Bucles Extraños[1].

Jorge Antonio Díaz Miranda
(México, 2007)

Para sistemas abiertos de estructura compleja, como la mente, la música, las matemáticas o la representación visual; existen varias formas de descripción simplificada sin que ello implique la total aprehensión de estos, pero tampoco signifique necesariamente que contemos con una solución única de cómo ordenar a través de categorías distintivas sus componentes. Y es que una cosa es la formulación de un teorema descriptivo de cualquier sistema y otra muy distinta demostrar que esa formulación se refiere realmente a ese sistema. Kurt Gôdel, un insólito matemático austriaco, intuyó que la solución a esta paradoja en los niveles de representación no existe, de esta manera cualquier teorema, formulación o juicio de verdad auto referido tiene una importancia igual a un conjunto cero, en la configuración, interacción o funcionamiento de n elementos de cualquier sistema p. En líneas generales este es el extraordinario hallazgo de las matemáticas del siglo XX, conocido como el Teorema de la Incompletud de Gôdel.

Basado en las ideas del elegante matemático austriaco, Hofstadter nos ofrece en cada uno de los veinte capítulos que ordenan y categorizan su disquisición monumental, especulaciones interesantes sobre la estructura compleja de la música, las artes visuales, la teoría de números, la mente, el pensamiento, la inteligencia, el significado y la modularidad; con las que se ilustrará las aplicaciones del teorema y su importancia dentro del cálculo lógico proposicional. Sin embargo, y esa la novedad del libro, cada uno de estos aspectos son tratados como metáforas representativas que ilustrarán en buena medida una serie de nuevos problemas para estudiar las formas en que el cerebro humano ordena el mundo, lo percibe, lo representa e interactúa con el.
La referencia estructural de la música de Bach, la lógica-matemática de lo imposible, y la fantástica arquitectura de las obras pictóricas de Escher, permitirán ubicar dentro de intrincadas retículas el concepto de bucle, como la máxima tautología en que todo sistema auto referencial puede caer, es decir, funcionar fuera de toda lógica, y fuera de todo parámetro cuantificable: el bucle es una especie de reloj que en vez de medir el tiempo realiza complejas operaciones para medir el espacio, y además realiza este procedimiento desde el presente y retrocede hasta el origen de la causa primera no causada, que causó el ahora.
La ofrenda musical compuesta por Bach, ofrece a Hosftadter un buen punto argumental para ilustrar la idea de complejidad estructural, auto referencia y singularidad. Desde un punto de vista estructural se trata de una composición que consta de una Fuga a tres voces, otra a seis, diez cánones y una sonata a trío. Esta complejidad gradual desemboca en una de las más exigentes y difíciles ejecuciones, es decir la fuga a seis voces, pues se caracteriza por un ritmo irregular y una expresividad sumamente cromática, la dificultad estriba en un dialogo distintivo y la impresión sinérgica que cada voz debe lograr en la impresión del escucha, lo que es similar a distinguir en una discusión múltiple con cinco personas cada matiz emocional de su tono. Idear un patrón de ejecución que permita semejante interacción implica en principio una mente que piense de forma matemática, virtuosismo, elegancia y sutileza. La interacción de codas, notas y llaves no se efectúa en un solo sentido si no que se juega de forma probabilística con variaciones, improvisaciones, inversiones, desplazamientos, etc, que van dotando a la composición de efectos tangenciales. El siguiente movimiento es fijar las secuencias probabilísticas a una estructura canónica, es decir un tema que sirve a la vez de melodía y acompañamiento, pero cada voz debe ser capaz de reproducir el canon de forma circular. Esto es, una sincronía de voces sustentada en una secuencia temporal.
La obra de Escher ofrece un buen ejemplo de bucle extraño, ya que visualmente nos ofrece la imagen intelectual de la paradoja
(gestalt/qualia - forma/fondo), la ilusión (inversión/acumulación de la perspectiva) y el doble sentido (simulación/absurdo). La topología de las escaleras, la cascada, las retículas movibles, la sobre dimensión, la disolución de líneas y figuras, etc., tienen como referencia la noción de infinito como inspiración de toda la obra pictórica de Escher. En cada dibujo suelen verse copias de un tema determinado acoplados los unos con los otros constituyendo así los análogos visuales con los cánones sonoros de Bach. En los dibujos de Escher los temas se van repitiendo en distintos niveles de realidad. En uno de esos niveles podemos encontrar la representación desde la imaginación o la fantasía desde un mundo invertido, inverosímil, distorsionado, evanescente, fantasmagórico. En otro Nivel encontramos la representación de la realidad, acotada por la geometría, la distribución del espacio y una secuencia que alude el paso del tiempo indicado por clepsidras. Otra dimensión nos indica el inicio de un desplazamiento hacia abajo y en otra dimensión el mismo desplazamiento remontando hacia arriba, sugiriendo que origen y final son uno y el mismo. Otra dimensión nos indica lo “exterior” pero en un punto indefinido la misma tuerce su topología como una banda de Moêbius y entonces emerge otra dimensión “interior” formando una botella de Klein.
El conflicto entre lo finito y lo infinito es una paradoja dinámica que se presenta en los bucles extraños, una singularidad que termina y comienza incesantemente, generando distintas geometrías todas igualmente válidas, todas igualmente ordenadas, sin embargo, una cosa es construir descripciones sobre estos sistemas geométricos y otra muy distinta es demostrar que esas descripciones se refieren precisamente a cada una de esos sistemas. Gôdel revela así que el concepto de “demostrabilidad” es más endeble que el concepto de verdad independientemente del sistema axiomático que utilicemos.
Precisamente, estas tres referencias de bucles extraños, sugieren a Hofstadter estructurar su libro como una inter discursividad de contrapuntos entre diálogos que funcionan como temas y capítulos que funcionan como cánones. Ambos presentan en dos dimensiones los mismos conceptos, y el resultado es una fuga circular que explora hipótesis interesantes sobre el lenguaje, la mente, la computación, las matemáticas, el cerebro humano y la forma como nos representamos la verdad y formulamos descripciones sobre como expresar la verdad.
Libros relacionados: John L. Casti (1998) El cuarteto de Cambridge; Alan Ross A. (2007) Controversia sobre mentes y máquinas.

Notas

[1] Douglas R. Hofstadter (1979) Gôdel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle. Trad. Mario Usabiaga y Alejandro López Rousseau. Tusquets-CONACYT, 7ª Edición, México 2007. ISBN:84-7223-459-2.